上极限和下极限

上极限和下极限是针对数列而言的，需谨慎考虑数集或点集。

定义 1 &emsp; 若在数$a$的任一领域内含有数列$\{x_n\}$的无限多个项，则称$a$为数列$\{x_n\}$的一个聚点。

当不区分实数与数轴上的点的情况下，点列的聚点等同于数列的聚点，也称为极限点。需要说明的是，点集和数集的聚点不能叫作极限点。

点列的聚点就是其收敛子列的极限。

定理 7.4 &emsp; 有界点列（数列）$\{x_n\}$至少有一个聚点，且存在最大聚点和最小聚点。

定义 2 &emsp; 有界数列（点列）$\{x_n\}$的最大聚点$\overline{A}$与最小聚点$\underline{A}$分别称为$\{x_n\}$的上极限与下极限，记作
$$
\overline{A} = \varlimsup_{n \to \infty}x_n, \quad \underline{A} = \varliminf_{n \to \infty}x_n.
$$
这里需要注意下极限的书写方法。

定理 7.5 &emsp; 对任何有界数列$\{x_n\}$有
$$
\varliminf_{n \to \infty}x_n \leq \varlimsup_{n \to \infty}x_n.
$$
定理 7.6 &emsp; 对于数列$\{x_n\}$，
$$
\lim_{n \to \infty}x_n = A
$$
的充要条件是
$$
\varlimsup_{n \to \infty}x_n = \varliminf_{n \to \infty}x_n = A
$$
定理 7.7 &emsp; 设$\{x_n\}$为有界数列，

$\overline{A}$为$\{x_n\}$上极限的充要条件是：任给$\varepsilon > 0$，

i. 存在$N > 0$，使得当$n > N$时有$x_n < \overline{A} + \varepsilon$;

ii. 存在子列$\{x_{n_k}\}$满足$x_{n_k} > \overline{A} - \varepsilon, \ k = 1, 2, \cdots.$
$\underline{A}$为$\{x_n\}$下极限的充要条件是：任给$\varepsilon > 0$，

i. 存在$N > 0$，使得当$n > N$时有$x_n > \underline{A} - \varepsilon$；

ii. 存在子列$\{x_{n_k}\}$满足$x_{n_k} < \underline{A} + \varepsilon, \ k = 1, 2, \cdots.$

该定理的另一种表述形式如下：

定理 $7.7^{\prime}$ &emsp; 设$\{x_n\}$为有界数列，

$\overline{A}$为上极限的充要条件是对任何$\alpha > \overline{A}$，$\{x_n\}$中大于$\alpha$的项至多有有限个；对任何$\beta < \overline{A}$，$\{x_n\}$中大于$\beta$的项有无限个。
$\underline{A}$为下极限的充要条件是对任何$\alpha < \underline{A}$，$\{x_n\}$中小于$\alpha$的项至多有有限个；对任何$\beta > \underline{A}$，$\{x_n\}$中小于$\beta$的项有无限个。

定理 7.8 &emsp; （上、下极限的保不等式性）&emsp; 设有界数列$\{a_n\}$, $\{b_n\}$满足：存在$N_0 > 0$，当$n > N_0$时，有$a_n \leq b_n$，则
$$
\varlimsup_{n \to \infty}a_n \leq \varlimsup_{n \to \infty}b_n, \ \varliminf_{n \to \infty}a_n \leq \varliminf_{n \to \infty}b_n.
$$
特别地，若$\alpha, \beta$为常数，又存在$N_0 > 0$，当$n > N_0$时有$\alpha \leq a_n \leq \beta$，则
$$
\alpha \leq \varliminf_{n \to \infty}a_n \leq \varlimsup_{n \to \infty}a_n \leq \beta.
$$
假设$\{a_n\}$,$\{b_n\}$为有界数列，则
$$
\varlimsup_{n \to \infty}(a_n + b_n) \leq \varlimsup_{n \to \infty}a_n + \varlimsup_{n \to \infty}b_n.
$$
下面给出一个非常重要的定理，该定理在实变函数中也会出现。

定理 7.9&emsp; 设$\{x_n\}$为有界数列，

$\overline{A}$为$\{x_n\}$上极限的充要条件是
$$
\overline{A} = \lim_{n \to \infty}\sup_{k \geq n}\{x_k\}
$$
$\underline{A}$为$\{x_n\}$下极限的充要条件是
$$
\underline{A} = \lim_{n \to \infty}\inf_{k \geq n}\{x_k\}
$$

一些事实：

设$\{a_n\}$, $\{b_n\}$为有界数列，则
1. $$
  \varliminf_{n \to \infty}a_n = - \varlimsup_{n \to \infty}(-a_n);
  $$
2. $$
  \varliminf_{n \to \infty}a_n + \varliminf_{n \to \infty}b_n \leq \varliminf_{n \to \infty}(a_n + b_n);
  $$
3. 若$a_n > 0, b_n > 0 \ (n = 0, 1, 2, \cdots)$，则
  $$
  \varliminf_{n \to \infty}a_n \cdot \varliminf_{n \to \infty}b_n \leq \varliminf_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n);
  $$
  
  $$
  \varlimsup_{n \to \infty}a_n \cdot \varlimsup_{n \to \infty}b_n \geq \varlimsup_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n);
  $$
4. 若$a_n > 0, \ \varliminf_{n \to \infty}a_n > 0$，则
  $$
  \varliminf_{n \to \infty}\frac{1}{a_n} = \frac{1}{\varliminf_{n \to \infty}a_n}.
  $$
若$\{a_n\}$为递增数列，则$\varlimsup_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}a_n$.
若$a_n > 0 \ (n = 1, 2, \cdots)$ 且$\varlimsup_{n \to \infty}a_n \cdot \varlimsup_{n \to \infty}\frac{1}{a_n} = 1$，则数列$\{a_n\}$收敛。