伯努利家族可谓是数学智团一族，特别是雅各布$\cdot$伯努利、约翰$\cdot$伯努利、丹尼尔$\cdot$伯努利。下面分别对他们三个进行介绍。 约翰$\cdot$伯努利这里首先介绍约翰$\cdot$伯努利，是因为他不仅是雅各布$\cdot$伯努利的弟弟，而且还是丹尼尔$\cdot$伯努利的父亲。同时，他的导师是大名鼎鼎的德国数学家戈特弗里德$\cdot$莱布尼茨，他的学生包括旧瑞士的莱昂哈德$\cdot$欧拉、法国的纪尧姆$\cdot$弗朗索瓦$\cdot$安托万$\cdot$洛必达。数学分析中非常有名的洛必达法则其实是出自其导师约翰$\cdot$伯努利的意念。约翰$\cdot$伯努利最早学习医学，后对数学感兴趣改投数学研究。 约翰$\cdot$伯努利与牛顿的故事。莱布尼茨与英国的牛顿为同时代的大数学家，他们同时创立了微积分。虽然牛顿被评为是最伟大的三位数学家（美国数学史学家E.T.贝尔在其《数学大师(Men of Mathematics)》一书中提出）之一，称为“数学之神”，其他两名分别是“数学界的莎士比亚”的阿基米德、“数学王子”的高斯（出生贫寒，受到资助后一路开挂）。但是 ...

Joseph Lagrange(约瑟夫$\cdot$拉格朗日) 姓名 Joseph Lagrange(约瑟夫$\cdot$拉格朗日) 出生 1736年1月25日 意大利都灵 逝世 1813年4月10日（77岁）法国巴黎 国籍 法国籍意大利裔 居住地 皮埃蒙特，法国，普鲁士 研究领域 数学，数学物理 知名于 分析力学，天体力学，数学分析，数论 机构 巴黎综合理工大学 博士导师 莱昂哈德·欧拉（注意他没有博士导师，而是由学术谱系权威将其划到了具有同等作用的欧拉身上） 博士生 约瑟夫·傅里叶，西莫恩·德尼·泊松 贡献 代数 1. 群的阶是子集的阶的倍数； 2. 消去理论; 3.将行列式的概念应用到非消去理论的范畴; 4.拉格朗日插值多项式;数论 1. 四平方和定理； 2. 证明配尔方程必存在解; 3. 证明威尔逊定理; 4. 创立二次型论; 5. 证明循环连分数均为二次无理数;微积分 1. 拉格朗日乘子法; 2. 拉格朗日中值定理;力学 1. 在1772年至1788年，他简化了经典力学中的一些公式和运算，并创建了自己的分支，称为拉格朗日力学 ...

CentOS 安全可靠，但是远程通过 SSH 连接 CentOS 服务器时，总是会出现过一段时间不用或隔夜第二天断开的情况，这是由于 CentOS 的 SSH 服务配置项设置导致的，可以修改相应的配置项来保证 CentOS 通过 SSH 连接时不自动断开。本篇方法同样适用于其他 Linux 系统。 修改配置项打开配置文件 1sudo vim /etc/ssh/sshd_config 修改如下两项 12#ClientAliveInterval 0#ClientAliveCountMax 3 为如下 12ClientAliveInterval 60ClientAliveCountMax 3 参数说明： ClientAliveInterval 指定了服务器端向客户端请求消息的时间间隔，默认值为 0，表示不发送。设置ClientAliveInterval = 60 表示每分钟发送一次，客户端进行响应，保持在线不断开。 ClientAliveCountMax 表服务器发出请求后客户端没有响应的次数达到一定值就会自动断开。使用默认值 3 即可，因为正常情况下，不会不响应。 ...

在数学分析中，实数集的完备性表现为六个定理，分别是实数集合的确界原理、数列的单调有界定理、区间套定理、数列的致密性定理与聚点定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理。 它们称为实数完备性基本定理。 区间套定理定义 1   设闭区间列${[a_n, b_n]}$具有如下性质：   1. $[a_n, b_n] \supset [a_{n + 1}, b_{n + 1}], \ n = 1, 2, \cdots$;   2. $\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0$, 则称${[a_n, b_n]}$为闭区间套，简称为区间套。 定理 7.1   （区间套定理）  若${[a_n, b_n]}$是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一个点$\xi$，使得$\xi \in [a_n, b_n], \ n = 1, 2, \cdots$，即$$a_n \leq \xi \leq b_n, \ n = 1, 2, \cdots.$$推 ...

实数包含有理数和无理数。有理数可以用分数形式$\frac{p}{q}, p, q$为整数，$q \neq 0$表示；也可以用有限十进制小数或无限十进制循环小数表示。无理数可以用不循环的小数表示。有理数和无理数统称为实数。 实数为了统一，将有限小数（包括整数）也表示为无限小数。规定：对于正有限小数$x$, 当$x = a_0.a_1 a_2 \cdots a_n$时，其中$0 \leq a_i \leq 9, i = 1, 2, \cdots, n, a_n \neq 0, a_0$为非负整数，记$$x = a_0. a_1 a_2 \cdots (a_n - 1)9999 \cdots,$$而当$x = a_0$为正整数时，则记$$x = (a_0 - 1).9999 \cdots,$$对于负数，可以先转化为正数考虑，如$x$为负数，先将$-x$表示为无限循环小数，然后在添加负号。 对于0，规定表示为$0.0000 \cdots$，于是任意实数都可以用一个确定的无限小数表示。 定义1 给定两个非负实数$$x = a_0.a ...

Taylor’s Formula (泰勒公式) 本节为参考华东师范大学《数学分析 上册》，学习本书的心得以及重点知识点总结。 泰勒公式源于多项式的简单性，多项式逼近函数用于近似计算和理论分析； 在$x = 0$处展开的泰勒公式又称为 Maclaurin(麦克劳林) 公式； 本节讨论了两种余项的泰勒公式，分别是用于定性分析的佩亚诺余项和用于定量分析的拉格朗日余项； 带有佩亚诺余项的泰勒公式多用于求函数极限，一般先考虑等价无穷小，然后对于复杂函数考虑泰勒公式； 利用泰勒公式可以近似计算无理数等的近似值。 带有佩亚诺型余项的泰勒公式定理6.9 若函数$f$在点$x_0$存在直至$n$阶导数，则有$f(x) = T_n(x) + o((x - x_0)^n)$，这里$$T_n(x) = f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x - x_0) + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n.$$称为函数$f$在点$x_0$处的泰勒 ...

Hexo + Github 搭建博客，在需要两地（单位与家）同时写博文时，选择将blog源码上传到GitHub，但是，某时当使用 git push 上传源码到GitHub，出现 acorn & minimist 容易受攻击。 下面是自己摸索的解决办法： Mac端在家里Mac终端执行如下命令 123cd ~/github/JBlognpm install acorn@latestnpm install minimist@latest 如果版本较低，也可以使用如下命令更新npm 1npm install -g npm 如下命令可以修复问题，但是我这里好像没什么用处，不过作为笔记还是记录下来 1npm audit fix Windows sublinux - Ubuntu 端在Ubuntu终端执行如下命令 123cd github/JBlognpm install acorn@latestnpm install minimist@latest 提交到GitHub在Mac端更新低版本的插件后，就可以使用如下命令上传到GitHub了 首先，先生成和部署博文 1hexo cle ...

Synchronous（同步）和Asynchronous（异步）是编程时比较重要的一个概念。而且，同步与异步的概念与我们日常生活中的含义不同，容易导致误解。这里给出计算机科学上两者的解释。 同步同步类似于实时打电话。什么意思，就是必须同时在线。用计算机术语就是单线程模式，函数或方法调用后，必须等待直接结束，等到返回值后才能释放资源。 同步属于阻塞模式。 一个实际的例子是，用户登录，需要对用户验证完成后才能登录系统。 效率低。 异步异步类似于分时发短信。就是可以不用同时在线，有空闲时再处理。用计算机术语就是多线程模式，函数或方法调用后，无需等待，可以去执行其他任务。 异步属于非阻塞模式。 一个实际的例子是，页面数据加载过程，不需要等所有数据获取后再显示页面。 效率高。 参考资料： 同步和异步的区别 计算机领域中的同步（Synchronous）和异步（Asynchronous） 简述同步和异步的区别

凸函数（Convex function）和拐点（Inflection point）。 此部分为参考 华东师范大学《数学分析上册》。以下内容为学习中的重点总结。 凸函数一般用来证明不等式；注意左右导数和凸函数定义公式的联系；凸函数的性质比较好，在机器学习中是理想的代价函数，因为好求最小值点；注意拐点中的鞍点（是一阶导数等于0的点，即拐点中的驻点或稳定点）。 凸函数定义1 设$f$为定义在区间$I$上的函数，若对$I$上的任意两点$x_1, x_2$和任意实数$\lambda\in(0,1)$总有$$f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)\leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2),$$则称$f$为$I$上的凸函数。反之，如果总有$$f(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2)\geq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2),$$则称$f$为$I$上的凹函数。 另外， 如果上面的不等式为严格不等式，那么称严格凸函数和严格凹函数。 如果$-f$为区间$I$上的凹函 ...

Vim 是一个非常好用的软件，更新自 vi 命令，添加了各种颜色显示，方便编写程序。这里给出一些 vim 常用的快捷方式。 vim有三种模式：命令模式（Command mode），输入模式（Insert mode）和底线命令模式（Last line mode） 命令模式：刚进入是的模式。此时，输入的字符为命令。 i 切换到输入模式，以输入字符。 x 删除当前光标所在处的字符。 : 切换到底线命令模式，以在最底一行输入命令。 输入模式输入模式可以进行文字输入。 字符按键以及Shift组合，输入字符 ENTER，回车键，换行 BACK SPACE，退格键，删除光标前一个字符 DEL，删除键，删除光标后一个字符 方向键，在文本中移动光标 HOME/END，移动光标到行首/行尾 Page Up/Page Down，上/下翻页 Insert，切换光标为输入/替换模式，光标将变成竖线/下划线 ESC，退出输入模式，切换到命令模式 底线命令模式在命令模式下，用英文冒号”:”进入底线模式 q 退出程序 w 保存 ...

Hexo + Github + Next搭建博客后，有时候需要写一些带有公式的博文。而默认情况下是不能显示数学公式的。这里介绍一种如何在博文上显示数学公式的方法。 Typora 本地数学公式编辑在本地下文章想显示数学公式，推荐使用typora这个软件，可以非常简单的配置后显示数学公式。 行内公式首先设置行内公式编辑功能 文件—偏好设置—Markdown—Markdown扩展语法—内联公式 设置后重启typora 行内公式编辑方法，直接在需要编写数学公式的地方写如下类似内容 1$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots$ 即，将公式写在**$**包括的里面就行，跟Latex语法一样。 居中显示公式居中显示公式跟Latex语言一样，首先输入**$$**，然后回车，即可进入编辑模式。 或者使用快捷键：Ctrl + Shift + M 或者点击段落—公式块 网页显示数学公式开启mathjax进入目录 ~\themes\next，编辑**_config.yml** ，修改如下内容 12345# MathJax Su ...